ИСТИНА

Целями научных исследований являются: создание новых методов решения многомерных интегральных уравнений, которые возникают при математическом моделировании процессов распространения электромагнитных полей в неоднородных средах; разработка и исследование математических моделей электродинамики и процессов самовоздействия световых волн. Основные направления научных исследований: разработка новых методов решения соответствующих задач математической физики; построение и обоснование новых математических моделей и алгоритмов; создание программных продуктов, проведение вычислительных экспериментов.

The objectives of scientific research are: the creation of new methods for solving multidimensional integral equations that arise in the mathematical modeling of the propagation of electromagnetic fields in inhomogeneous media; development and research of mathematical models of electrodynamics and processes of self-action of light waves. The main directions of scientific research: the development of new methods for solving the corresponding problems of mathematical physics; construction and justification of new mathematical models and algorithms; creation of software products, computational experiments.

Будут разработаны методы решения интегральных уравнений для задач дифракции волн на экранах и в волноводах. Будут рассмотрены новые методы приближенного решения сингулярных интегральных уравнений теории волн и новые математические модели излучения волн. Будут разработаны методы исследования прямых и обратных задач рассеяния волн на объектах различной природы, сочетающие современные численные методы для задач с разной степенью гладкости исходных данных и методы машинного обучения. Будут разработаны алгоритмы и комплексы программ для решения важных прикладных задач медицинской направленности. Будут разработаны новые модели самовоздействия световых волн, в том числе с учетом короткой длительности входного импульса и связанных с ним эффектов, нелокальных пространственно-временных эффектов в системах с обратной связью, современных методов управляемой фурье-фильтрации, а также будут разработаны новые методы управления волновыми фронтами и моделирования структурообразования с заданными свойствами.

Проведены исследования по применению интегральных уравнений для решения различных задач дифракции волн. Была рассмотрена задача излучения из прямоугольного волновода в полупространство, получено сингулярное интегральное уравнение, доказана его однозначная разрешимость. Для задачи дифракции на плоском экране разработан метод численного решения интегрального уравнения с использованием барицентрических координат. Разработан метод решения некорректных задач лазерной дифрактометрии в новой постановке, учитывающей распределение клеток крови по формам, и использующий метод регуляризации А.Н. Тихонова в сочетании с модифицированной сверткой по Меллину, а также разработан аналитический подход, нацеленный на определение первых моментов искомого распределения в качестве априорной информации в методе регуляризации. Предложена и исследована обратная задача матричной фурье-фильтрации для квазилинейного функционально-дифференциального уравнения диффузии, возникающая при моделировании нелинейных оптических систем с обратной связью. Разработан вариационный подход для ее решения, результаты численного применения которого продемонстрировали эффективность матричных фильтров по сравнению с традиционными фильтрами-мультипликаторами. Разработаны методы деконволюции оптических изображений: двухшаговый метод двумерной деконволюции по серии искаженных изображений с неизвестной априори аберрацией второго порядка в изображающей системе и трехмерный метод деконволюции с применением методов машинного обучения. На основе теории бифуркаций разработаны численно-аналитические методы исследования нелинейной динамики распространения волн и сигналов в системах с последействием, включая модели нелинейных оптических систем с дифракцией и запаздыванием в контуре обратной связи и модели нейронного поля с двумя нелинейными интегродифференциальными уравнениями. Разработан вариационный метод восстановления волнового фронта по его наклонам со стабилизатором дробной гладкости.

Рассмотрены математические модели для расчета излучения электромагнитных волн из открытых концов волноводов в свободное полупространство, получены сингулярные интегральные уравнения относительно касательных полей на раскрыве волноводов, развит приближенный метод расчета характеристик излучения на основе метода Кирхгофа. Для решения задач распространения и дифракции электромагнитных волн в неоднородных средах разработан новый метод расчета задач дифракции волн на телах в свободном пространстве на основе барицентрического базиса в методе Галёркина. Исследованы модели возбуждения антенных решеток. Для задачи дифракции и распространения электромагнитных волн в направляющей системе с учетом тонкого проводящего покрытия методом функций Грина осуществлен переход к системе интегральных уравнений и доказана ее фредгольмовость в пространствах Соболева. Для задачи с наклонной производной для квазилинейного функционально-дифференциального уравнения диффузии с запаздыванием разработан численно-аналитический метод, позволяющий эффективно предсказывать и наблюдать в численном эксперименте двумерные вращающиеся спиральные волны и ранее не описанный в литературе режим пульсирующих спиральных волн, обладающих свойствами устойчивости. Для вариационного метода решения возникающей в адаптивной оптике обратной задачи восстановления волнового фронта по его наклонам получена шкала оценок скорости сходимости при выборе наклонов из анизотропных пространств Соболева с дробными показателями гладкости для восстановления негладких волновых фронтов. Разработан вариант метода со стабилизатором дробного порядка гладкости и локализацией параметров стабилизатора в фурье-плоскости, показавший эффективность для случая измерения с погрешностями наклонов негладких (в т.ч. разрывных) волновых фронтов, возникающих в прикладной офтальмологии при исследовании аберраций мультифокальных интраокулярных линз. Разработан гибридный метод восстановления волнового фронта, проведено исследование эффективности физически информированных нейронных сетей в задаче восстановления волнового фронта по наклонам, сравнение эффективности различных архитектур сверточных нейронных сетей при решении задачи оптического секционирования многослойного объекта. Построена аналитическая модель рассеяния электромагнитного поля на неоднородном ансамбле диэлектрических эллиптических цилиндров. Установлена связь видности дифракционной картины с характеристиками функции распределения, что позволяет оценивать разброс диэлектрических тел по размерам и формам на основе измерения видности в эксперименте. Разработан численный метод решения для прямой задачи рассеяния осесимметричного электромагнитного поля на диэлектрических телах вращения и обратной задачи восстановления формы диэлектрического тела по дифракционной картине в случае магнитной моды, допускающий эффективное распараллеливание на графических ускорителях. Для решения обратных задач лазерной дифрактометрии предложен алгоритм измерения параметров распределения эритроцитов по размерам на основе измерения характеристик углового распределения интенсивности света в дифракционной картине при рассеянии лазерного пучка на мазке крови, а также упрощенный алгоритм измерения параметров распределения эритроцитов по деформируемости, не требующий фотометрии центральной части дифракционной картины. Предложен алгоритм измерения доли слабо деформируемых эритроцитов в образце крови, основанный на сравнении экспериментально наблюдаемых дифракционных картин с картинами, рассчитанными в приближении бимодального ансамбля. Разработан математический метод для измерения параметров эритроцитов на основе углового распределения интенсивности света в дифракционной картине, методом численного эксперимента оценена точность, область применимости метода и его устойчивость к шумам. Для решения обратной задачи оптического секционирования многослойных объектов разработан метод граничного разделения, сочетающий физическую модель размытия в приближении Френеля с современными методами оценки степени размытия и выделения границ на изображениях. Результаты тестирования на данных физических экспериментов с модельными многослойными объектами разных масштабов показали его эффективность. Разработаны новая математическая модель конфокальной системы для решения задачи оптического секционирования. Разработан подход к задаче трехмерного секционирования, основанный на применении обученных на сгенерированных датасетах сверточных нейросетей к восстановлению параметров оптической системы для экспериментальных данных. Разработан генератор синтетических наборов обучающих данных и модификация архитектуры типа U-Net. На их основе предложен подход, основанный на использовании сверточной нейронной сети архитектуры типа U-Net, обученной на синтетически сгенерированных наборах данных, и ее применении к экспериментальным наборам данных, показавший лучшее качество секционирования в условиях отсутствия информации о ядре размытия в сравнении с другими существующими методами. Разработан новый подход, объединяющий использование генераторов синтетических обучающих выборок и сверточных нейронных сетей архитектуры типа U-Net, позволяющий в интерактивном режиме восстанавливать слои трехмерных полупрозрачных объектов по экспериментальным данным, полученным в условиях ограниченной информации об операторе размытия. Проведено исследование нелинейной оптической системы с учетом процессов в слое полимера, получены оценки решения. Для задачи матричной фурье-фильтрации в квазилинейном функционально-дифференциальном уравнения диффузии численно и аналитически построены новые типы решений с заданной пространственно-временной динамикой. Проведено исследование возможности генерации пятой гармоники лазерного излучения в одном кристалле с квадратичным нелинейным откликом. Изучены задачи генерации четвёртой гармоники в среде с квадратичной нелинейностью и в среде с комбинированной нелинейностью. Для задач генерации третьей гармоники и трёхкратного понижения частоты на основе метода многих масштабов выведены системы уравнений, описывающие возникновение индуцированных нелинейностей, и проведено их исследование: найдены инварианты и на их основе построены консервативные конечно-разностные схемы; проведено исследование в приближении длинных импульсов; найдены параметры систем, обеспечивающие максимальную эффективность генерации целевой волны; получены точные решения для амплитуд и для фаз взаимодействующих волн; проведено компьютерное моделирование, подтвердившее проведённый теоретический анализ. Для описываемой нелинейным уравнением Гинзбурга-Ландау задачи о распространении оптического импульса в содержащем оптический усилитель оптоволокне получены интегралы движения (законы сохранения, инварианты) и разработана неявная консервативная разностная схема в смысле сохранения разностных аналогов инвариантов. Для задач моделирования процессов трёхкратного повышения и понижения частоты лазерного излучения в нелинейной среде были аналитически получены приближённые решения, описывающие поведение лазерного излучения в нелинейной среде. Для модели взаимодействия трех волн с кратными частотами в нелинейной среде были получены решения солитонного типа. Исследованы несколько моделей взаимодействия лазерного излучения с нелинейной средой: модель влияния слабой третьей гармоники на процесс удвоения частоты лазерного излучения в среде с комбинированной нелинейностью, модель взаимодействия трёх волн в среде с квадратичной нелинейностью и в среде с комбинированной нелинейностью, модели взаимодействия лазерного излучения с движущейся нелинейной средой.