|
ИСТИНА |
Войти в систему Регистрация |
ИСТИНА ФИЦ ПХФ и МХ РАН |
||
Сеточные методы и их применение в математическом моделированииНИР
Grid methods and their application in mathematical modelling
- Руководители НИР: Арделян Н.В., Николаев Е.С.
- Ответственный исполнитель: Космачевский К.В.
- Участники НИР: Анпилов С.В., Белухина И.Г., Ершова Т.Я., Золотарева Н.Д., Лапонин В.С., Саблин М.Н.
- Подразделение: Лаборатория разностных методов
- Срок исполнения: 1 января 2016 г. - 31 декабря 2020 г.
- Номер договора (контракта, соглашения): 2.4.16
- Номер ЦИТИС: АААА-А16-116021110335-4
- Тип: Фундаментальная
- Приоритетное направление научных исследований: Математическое моделирование и численные методы
- Приоритеты и перспективы НТР Российской Федерации согласно Стратегии НТР РФ: переход к передовым цифровым, интеллектуальным технологиям
- ПН России: Информационно-телекоммуникационные системы
- Направление технологического прорыва России: Стратегические информационные технологии
- Критическая технология России: Компьютерное моделирование наноматериалов, наноустройств и нанотехнологий
-
Рубрики ГРНТИ:
- 27.35.14 Математические модели аэро- и гидромеханики
- 27.35.17 Математические модели газовой динамики
- 27.41.19 Численные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений
- Классификатор OECD: Компьютерные и информационные науки
-
Описание:
Теоретическое исследование сходимости разностных схем на сгущающихся сетках для сингулярно возмущенных уравнений эллиптического типа с негладкими входными данными. Построение, исследование и реализация адаптивных версий МКЭ для много-мерных сингулярно возмущенных эллиптических краевых задач. Исследование сходимости для сеточных задач с согласованными сеточными операто-рами на неструктурированной сетке. Создание новой версии свободно-лагранжевого ме-тода численного решения двумерных задач магнитогазодинамики на неструктурирован-ной треугольной сетке. Развитие комплекса программ для численного решения задач химической кинетики плазмы. Математическое моделирование физических процессов в низкотемпературной плазме, включающих газодинамические, химкинетические и электроразрядные явления. Исследование условий образования устойчивых конфигураций, состоящих из раз-личного количества нелинейных поверхностных волн. Математическое моделирование изменения формы защитного слоя электролизной ванны в процессе её эксплуатации, а также оценка влияния этого изменения на проте-кающие внутри ванны магнитогидродинамические процессы.
-
Abstract:
Theoretical investigation of convergence of difference schemes for thickening grids for singularly perturbed elliptic equations with nonsmooth input data. Construction, research and implementation of adaptive versions of FEM for a multidimensional singularly perturbed elliptic boundary value problems. The study of the convergence for grid tasks with the consistent grid operators on unstructured grid. A new version of the free-Lagrangian method for the numerical solution of two-dimensional problems of magnetogasdynamic on unstructured triangular mesh. Development of software complex for the numerical solution of problems of chemical kinetics of the plasma. Mathematical modeling of physical processes in low temperature plasma, including gas dynamics, chemkinetics and electric discharge phenomena. Research of conditions of formation of stable configurations consisting of different numbers of nonlinear surface waves. Mathematical modeling of shape changes of the protective layer electrolytic bath in the process of its operation, as well as assessment of the impact of this change on the magnetohydrodynamic processes leaking inside the bath.
-
Планируемые результаты:
Для точных решений (и их производных) сингулярно возмущенных эллиптических краевых задач в прямоугольнике, а также для приближенных разностных решений на сгущающихся сетках будут получены априорные оценки, позволяющие доказать равно-мерную по малому параметру сходимость с точностью, максимально возможной для со-ответствующей гладкости решения. Для двумерного сингулярно возмущенного уравне-ния конвекции-диффузии при различной гладкости граничного условия будут получены равномерные по малому параметру оценки скорости сходимости разностного решения к точному решению краевой задачи. Будут проведены численные исследования на различ-ных сетках и разностных схемах, дающие представление о поведении и сходимости ре-шений и их взаимосвязи с теоретическими результатами. Для решения с высокой точностью сингулярно возмущенных эллиптических краевых задач будут разработаны и программно реализованные новые адаптивные стратегии для hp-версии метода конечных элементов с кусочно-полиномиальными базисными функ-циями, а также процедуры перестройки сетки. Для некоторых классических задач математической физики планируется доказать сходимость решений дискретных задач с согласованными сеточными операторами в слу-чае смешанной аппроксимации функций, на основе исследования локальной аппрокси-мации и априорных оценок устойчивости. Для численного решения двумерных задач магнитогазодинамики будет разработана и программно реализована новая версия свободно-лагранжевого метода на неструктуриро-ванной треугольной сетке, использующая сеточные функции различного типа. Будет соз-дана новая версия комплекса программ для решения задач химической кинетики плазмы, позволяющая численно исследовать более сложную модель слабоионизированной плаз-мы. Будет проведено численное моделирование ряда важных прикладных задач в области плазмохимии и плазмодинамики. Будет построена новая уточненная математическая модель возникновения нелиней-ных волн в океане под воздействием неравномерных воздушных потоков. Будут изуче-ны условия образования устойчивых конфигураций, состоящих из различного количест-ва волн, в зависимости от рельефа дна и воздушных потоков. Для трехмерного уравне-ния Гросса-Питаевского будет проведено сравнение высокоточных численных решений солитонного вида с аналитическим решением. Будет построена новая детализированная модель протекающих внутри электролизёра электрохимических реакций. Будет исследовано влияние изменения формы защитного слоя на протекающие внутри ванны магнитогидродинамические процессы.
-
Научный задел:
Для широкого класса сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений с частными производными построены классические разностные схемы на кусочно-равномерных сетках, обладающие равномерной сходимостью по малому параметру. Развит аппарат исследования сходимости разностных схем на специальным образом построенных сетках, учитывающих гладкость искомого точного решения и его производных. Адаптивные методы являются наиболее эффективным средством нахождения приближенных решений краевых задач для дифференциальных уравнений, имеющих ту или иную локальную особенность, например, пограничные или внутренние переходные слои. Среди них отметим варианты МКЭ, в которых реализуются стратегии адаптивного измельчения сетки, локального изменение порядка элементов или смешанные адаптивные стратегии. Ранее в лаборатории для указанных версий был предложен, исследован и программно реализован ряд адаптивных стратегий. Исследование их эффективности было проведено для сингулярно возмущенного одномерного стационарного уравнения реакции-диффузии с решениями, обладающими различной гладкостью. Развитие этого подхода для многомерных сингулярно возмущенных эллиптических краевых задач важно как с теоретической, так и практической точек зрения. Разработанный в лаборатории неявный свободно-лагранжевый метод численного решения двумерных задач магнитной газовой динамики использует ячеечную и узловую сеточную аппроксимацию функций на неструктурированной треугольной сетке и соответствующие согласованные сеточные дифференциальные и граничные операторы. Метод хорошо зарекомендовал себя при численном моделировании широкого класса задач. Созданный в лаборатории комплекс программ для численного решения задач химической кинетики плазмы реализует модель слабо ионизированной плазмы. Актуальным является расширение моделей и комплекса программ для учета парциального состава в уравнении энергии газа.
- Добавил в систему: Врагова Елена Юрьевна
Соисполнители НИР
| МГУ имени М.В. Ломоносова | Координатор |
Источник финансирования НИР
| госбюджет, раздел 0110 (для тем по госзаданию) |
Этапы НИР
| # | Сроки | Название |
| 1 | 1 января 2016 г.-31 декабря 2016 г. | Сеточные методы и их применение в математическом моделировании |
| Результаты этапа: Исследованы и систематизированы свойства сеточных операторов, согласованных с дифференциальными операторами. Проведён сравнительный анализ ряда адаптивных стратегий для различных версий метода конечных элементов, используемого при решении сингулярно возмущенных краевых задач для стационарных уравнений реакции-диффузии. Изучена сходимость на специальным образом измельчаемой сетке решения разностной задачи к решению краевой задачи с негладкой граничной функцией для сингулярно возмущенного уравнения конвекции-диффузии, имеющего пограничные и внутренние слои. Выполнено численное моделирование задач химической кинетики плазмы сухого воздуха с целью изучения влияние реакции отлипания электрона от молекулярного отрицательного иона кислорода. Проведено численное моделирование процессов формирования и эволюции нелинейных волн в кольцевом канале под воздействием различных источников ветра для различных рельефов дна. Проведено математическое моделирование изменения формы гарнисажа электролизной ванны в процессе её эксплуатации. | ||
| 2 | 1 января 2017 г.-31 декабря 2017 г. | Сеточные методы и их применение в математическом моделировании |
| Результаты этапа: Для решения задачи Дирихле в полуплоскости для сингулярно возмущенного двумерного уравнения конвекции-диффузии с переменными коэффициентами получена априорная оценка в пространствах Гёльдера, выражающаяся через соответствующую норму граничной функции и правой части. Получены оценки функции Грина и равномерные по малому параметру априорные оценки скорости сходимости решения разностной схемы к точному решению сингулярно возмущенного ОДУ третьего порядка. Предложена новая адаптивная сглаживающая стратегия решения сеточных краевых задач для одномерных уравнений реакции-диффузии, основанная на p-версии метода конечных элементов и использующая индикаторы коррекции. Проведены численные эксперименты по сравнению этой стратегии с ранее построенной стратегией пробных базисных функций. Проведено построение и исследование аппроксимационных свойств сеточных операторов, согласованно аппроксимирующих на нерегулярной треугольной сетке основные дифференциальные операторы для векторных функций с использованием интегральных тождеств. Доказаны сеточные аналоги теорем вложения. На основе математического моделирования проведено исследование кинетики плазмы воздуха при атмосферном давлении при различных значениях напряженности внешнего электрического поля для определения состава плазмы воздуха в приземном слое в периоды геотектонической активности. Разработанная ранее математическая модель МГД-процессов в электролизной ванне дополнена новыми функциональными возможностями. Был усовершенствован соответствующий программно-расчётный комплекс с учётом изменений в математической модели. Численно исследовано влияние внутренних течений на формирование ветровых волн на поверхности жидкости в кольцевом канале. Построена математическая модель столкновения больших волн с прибрежными постройками. | ||
| 3 | 1 января 2018 г.-31 декабря 2018 г. | Сеточные методы и их применение в математическом моделировании |
| Результаты этапа: Разработаны принципы применения свойств сеточных аппроксимаций MFD-метода для исследования корректности операторной сеточной задачи, аппроксимирующей стационарную систему уравнений диффузионного типа. Рассмотрена связь постановки одномерных краевых задач в регулярных обобщенных функциях, классического вариационного определения обобщенного решения, с построением корректных однородных сеточных задач с согласованными разностными операторами. Исследованы свойства сеточных аппроксимаций сингулярно возмущенного двумерного уравнения конвекции-диффузии с переменным коэффициентом диффузии, а также сингулярно возмущенного обыкновенного дифференциального уравнения третьего порядка с сильным пограничным слоем. Продолжен вычислительный эксперимент по анализу плазмообразования: в ионосфере при грозовой активности и в нормальных условиях, а также в приземном слое при воздействии сейсмических источников ионизации. Изучено влияние управляющих параметров электролиза на МГД-стабильность процессов, протекающих в электролизёре. Усовершенствована математическая модель столкновения больших волн с прибрежными постройками. | ||
| 4 | 1 января 2019 г.-31 декабря 2019 г. | Сеточные методы и их применение в математическом моделировании |
| Результаты этапа: Выполнено построение согласованных разностных аналогов инвариантных дифференциальных операторов первого порядка, которые можно использовать при построении консервативных операторных разностных схем для двумерных и трехмерных задач теплопроводности и газовой динамики. Получена априорная оценка решения через норму заданной граничной функции для сингулярно возмущенного однородного двумерного уравнения конвекции-диффузии с постоянными коэффициентами и конвекцией, направленной под углом к границе. Для решения задачи Дирихле для сингулярно возмущенного уравнения реакции-диффузии в области с полигональной границей разработана новая адаптивная h-версия МКЭ. Проведено уточнение математической модели плазмохимических процессов в атмосфере. На основе этой модели изучено влияние внешнего электрического поля на процессы плазмообразования в ионосфере. Проведено моделирование физико-химических процессов, происходящих при переработке органических отходов методом высокотемпературного окисления в шлаковом расплаве. Уточнена математическая модель столкновения больших волн с прибрежными постройками и создана соответствующая модификация программного комплекса. | ||
| 5 | 1 января 2020 г.-31 декабря 2020 г. | Сеточные методы и их применение в математическом моделировании |
| Результаты этапа: Получена априорная оценка в норме Гёльдера для решения задачи Дирихле в полуплоскости для сингулярно возмущенного неоднородного двумерного уравнения конвекции-диффузии с постоянными коэффициентами и конвекцией, направленной под углом к границе, через соответствующую норму правой части уравнения. Предложен новый способ построения однородных операторных разностных схем для дифференциальных уравнений, основанный на использовании сеточных аналогов частных производных обобщенных функций. Для адаптивной h-версии МКЭ с кусочно-линейными базисными функциями, разрабатываемой для решения в двумерной области с полигональной границей задачи Дирихле для сингулярно возмущенного уравнения реакции-диффузии предложен новый тип индикатора коррекции, новый адаптивный алгоритм отбора треугольников для их измельчения и новая процедура измельчения сетки. Проведено сравнение нового варианта метода с методом, использующим для вычисления индикаторов коррекции пробные базисные функции. Методом математического моделирования исследованы: природные явления, рассматриваемые в качестве предвестников землетрясений, образование вихревых структур при взаимодействии нелинейных волн с препятствиями, влияние распада и слияния пузырьков газовой фазы, возникающей в результате электрохимических реакций в рабочем объёме алюминиевого электролизёра, процессы переработки органических отходов путём их высокотемпературного окисления. | ||
Прикрепленные к НИР результаты
Для прикрепления результата сначала выберете тип результата (статьи, книги, ...). После чего введите несколько символов в поле поиска прикрепляемого результата, затем выберете один из предложенных и нажмите кнопку "Добавить".