ИСТИНА

Предлагаемый проект представляет программу исследований особенностей объектов, возникающих в дифференциальной геометрии, теории динамических систем и дифференциальных уравнениях, где методы, основанные на сочетании традиционных подходов с инструментами глобального анализа и теории особенностей, уже позволили получить выдающиеся фундаментальные результаты. Предлагаемые задачи и планируемые методы их решения тесно связаны между собой и подразделены на три блока: (A) лежандровы и лагранжевы особенности, волновые фронты, фронтальные поверхности и каустики; (Б) геометрия римановых, псевдоримановых и лоренцевых многообразий, геодезические потоки в сингулярных метриках, биллиарды; (В) неявные уравнения, уравнения с частными производными смешанного типа, уравнения Монжа-Ампера и особенности их решений. Выбор конкретных проблем в программе обусловлен их актуальностью и значимостью для развития этих областей математики, так и смежных областей и приложений математики, а также имеющимся заделом и признанными в мире результатами в этих областях у членов коллектива заявки.

The determination and description of invariants of mathematical objects and their simplest forms (with respect to admissible transformations) is an important mathematical problem, which is actual since the days of A. Poincare till now. The present project is a research of singularities of various objects that appear in differential geometry, dynamical systems, theory of differential equations. In all these areas, outstanding fundamental results were obtained using the combination of standard methods with approaches of global analysis and singularity theory. The choice of specific problems in the project is based on their relevance and importance for the development of these areas of mathematics and related fields and applications of mathematics, as well as the previous experience and known in the world results obtained by the members of the present project. The problems proposed in this project and the planned methods for their solution are closely related to each other and are divided into three blocks: (A) Lagrangian and Legendrian singularities, wave fronts, frontal surfaces, caustics; (B) geometry of Riemannian, pseudo- Riemannian and Lorentzian manifolds, geodesic flows in singular metrics, billiards; (C) implicit differential equations, partial differential equations of the mixed type, Monge-Ampere equations and singularities of their solutions. The realization of the proposed research program enables new advances in symplectic geometry, makes an important contribution to the development of the geometry of non-Riemannian (Lorentzian, pseudo-Riemannian, etc.) spaces, which is directly related to a number of sections of modern physics, the qualitative theory of second-order linear equations with partial derivatives of the mixed type, which is important for describing processes of a different nature, including motion with the overcoming of the sound barrier, the propagation of the electromagnetic wave field in the plasma, and others.The determination and description of invariants of mathematical objects and their simplest forms (with respect to admissible transformations) is an important mathematical problem, which is actual since the days of A. Poincare till now. The present project is a research of singularities of various objects that appear in differential geometry, dynamical systems, theory of differential equations. In all these areas, outstanding fundamental results were obtained using the combination of standard methods with approaches of global analysis and singularity theory. The choice of specific problems in the project is based on their relevance and importance for the development of these areas of mathematics and related fields and applications of mathematics, as well as the previous experience and known in the world results obtained by the members of the present project. The problems proposed in this project and the planned methods for their solution are closely related to each other and are divided into three blocks: (A) Lagrangian and Legendrian singularities, wave fronts, frontal surfaces, caustics; (B) geometry of Riemannian, pseudo- Riemannian and Lorentzian manifolds, geodesic flows in singular metrics, billiards; (C) implicit differential equations, partial differential equations of the mixed type, Monge-Ampere equations and singularities of their solutions. The realization of the proposed research program enables new advances in symplectic geometry, makes an important contribution to the development of the geometry of non-Riemannian (Lorentzian, pseudo-Riemannian, etc.) spaces, which is directly related to a number of sections of modern physics, the qualitative theory of second-order linear equations with partial derivatives of the mixed type, which is important for describing processes of a different nature, including motion with the overcoming of the sound barrier, the propagation of the electromagnetic wave field in the plasma, and others.

(A) Будет получена классификация перестроек огибающих бикасательных плоскостей, происходящих в типичном однопараметрическом семействе пространственных кривых и поверхностей, зависящих типичным образом от одного параметра. Кроме того, будет получена классификация перестроек касательных поверхностей к пространственным кривым, зависящим типичным образом от одного параметра. (Б) В области исследования геодезических потоков в псевдоримановых метриках переменной сигнатуры и других сингулярных метриках будет получена классификация особенностей геодезических потоков на трехмерных псевдоримановых многообразиях и детальное описание локальных фазовых портретов и свойств геодезических в окрестности всех вырожденных точек коразмерности 1. В частности, будет доказано, что, как и в двумерном случае, геодезические выходят из вырожденной точки не во всех, а лишь в определенных допустимых направлениях, однако в отличие от двумерного случая, число допустимых направлений может быть бесконечно. Допустимым всегда является одно из изотропных направлений, в этом направлении выходит двухпараметрической семейство геодезических, имеющих вид полукубических парабол. Кроме этого направления, может существовать еще целый конус A, состоящий из допустимых направлений. Если конус A не имеет общих касательных направлений с поверхностью вырождения метрики, то в каждом направлении конуса A через данную вырожденную точку проходит ровно одна регулярная геодезическая. В противном случае, мы покажем, что при выполнении некоторых условий общности положения, конус содержит два различных направления, касающихся поверхности вырождения, и в каждом из них из точки выходит геодезическая, имеющая вид полукубической параболы с каспом в данной точке. Планируется также провести аналогичное исследование для псевдоримановых многообразий размерности больше трех. Это исследование имеет большое значение для геометрии лоренцевых многообразий в целом, а также для разделов физики, имеющих дело с пространствами и многообразиями псевдориманого и лоренцевого типа (например, уравнение Эйнштейна гравитационного поля). В области исследования биллиардов ожидается получение ответом на ряд поставленных ранее вопросов, которые, несмотря на многочисленные работы в это области, все еще остаются открытыми, в частности, гипотеза Иврия и обобщение гипотезы Биркгофа, предложенное Табачниковым. (В) В теории нормальных форм линейных уравнений с частными производными второго порядка смешанного типа на плоскости будут обоснованы канонические формы главного символа в эллиптической области вблизи сложенных особых точек, будут получены соответствующие нормальные формы для семейств с маломерным параметром, а также доказаны теоремы о канонических нелокальных формах главных символов для простейших конфигураций характеристик. Эти результаты позволят сделать “типичными” результаты, полученные в прикладных исследованиях по уравнениям смешанного типа с поведением характеристик типа сложенные узел, седло либо фокус. Получение канонической формы рождения гиперболической области (в достаточно гладкой категории) должно дать новые канонические постановки краевых задач для линейных уравнений смешанного типа на плоскости, в частности, при анализе жесткости тонких оболочек при рождении гиперболической области на соответствующей поверхности, или существования малых изгибаний соответствующих поверхностей. В области исследования уравнений Монжа-Ампера будут получены эффективно проверяемые условия их эквивалентности и осуществлена классификация этих уравнений (в частности, для однородных уравнений Монжа-Ампера на однородных пространствах). Также будут исследованы особые решения этих уравнений, их перестройки и возникающие при этом сингулярности.