ИСТИНА

Проект предусматривает получение новых результатов в области конструирования моделей турбулентного движения, обоснованных детальным анализом результатов численного моделирования, экспериментальными и теоретическими данными. Будут получены новые численные и аналитические результаты для уравнений гидродинамического типа, играющих важную роль в теориях турбулентности и дифференциальных уравнений, в механике и физике. Главное внимание будет уделено нижеследующим разделам. С применением наиболее широкого класса современных моделей свободных турбулентных течений будет выполнено численное моделирование и проведен анализ поведения тензорных характеристик турбулентности и их инвариантов, выполнено конструирование и численный анализ упрощенных модификаций моделей, основанных на различных представлениях корреляций с пульсациями давления. Будет проведен численный анализ автомодельного вырождения инвариантов тензора рейнольдсовых напряжений. Результаты детальных численных исследований в сочетании с анализом результатов известных лабораторных измерений должны послужить обоснованием для расширения общепринятого списка основных переменных в уравнениях моделей турбулентности. Это позволит сформулировать новые математические модели турбулентного движения, базирующиеся на предложенных С.К. Годуновым (2004) аналогиях с теорией упругости и представляющие собой развитие колмогоровского подхода в теории развитой турбулентности. Будет проведена групповая классификация и исследование инвариантных, частично инвариантных и дифференциально-инвариантных решений уравнений подмоделей газовой динамики, моделей многофазной фильтрации в упруго-пластической пористой среде, теории упругости, установившихся колебаний в непрерывно-неоднородной среде и моделей турбулентности свободных турбулентных потоков. Будет дана физическая интерпретация полученных результатов, проведено построение и исследование законов сохранения для уравнений гидродинамики, газовой динамики, многофазной фильтрации в упруго-пластической пористой среде, неклассических моделей гидродинамики и механики твердого тела, классической механики. Будет осуществлена классификация законов сохранения по различным критериям, выявлен физический смысл законов сохранения и выяснена групповая природа расширения множества законов сохранения. Будет проведен геометрический анализ моделей, основанный на исследовании линий уровня, отвечающих уравнениям гидродинамического типа, в первую очередь в задачах газовой динамики и гидродинамики. При надлежащем выборе линий уровня указанный анализ (так называемый метод линий уровня) позволяет установить принципиальные свойства решений, в частности, применительно к дозвуковым течениям газа, и суммарную степень нулей производных, что будет новым результатом и для теории квазиконформных отображений. Дополнительно будет апробирован подход, основанный на алгебро-геометрическом анализе при исследовании переопределенных систем уравнений.

The project provides for new results in the field of construction models of turbulent motion, sound a detailed analysis of the results of numerical modeling, experimental and theoretical data. new numerical and analytical results will be obtained for the hydrodynamic equations, which play an important role in the theory of turbulence and differential equations in mechanics and physics. The main attention will be paid to the following sections. With the use of the most modern models of a wide class of free turbulent flows is the numerical simulation and the analysis of the behavior of the tensor of turbulence characteristics and their invariants, performed design and numerical analysis of simplified versions of models based on different views of correlations with pressure fluctuations. Numerical analysis of the self-degeneracy of the Reynolds stress tensor invariants will be carried out. The results of detailed numerical studies in conjunction with the analysis of the results of laboratory measurements known to serve as a justification for expanding the conventional list of the main variables in the equations turbulence models. This will formulate new mathematical models of turbulent motion, based on the proposed SK Godunov (2004) analogy with the theory of elasticity and constitutes a development of the Kolmogorov approach in the theory of developed turbulence. There will be a group classification and study of invariant, partially invariant and differentially invariant solutions of equations of submodels of gas dynamics, multiphase flow models in elastic-plastic porous media, theory of elasticity, steady-state oscillations in continuously inhomogeneous medium, and turbulence models free turbulent flows. It will be given a physical interpretation of the results, carried out the construction and study of the conservation laws for the equations of hydrodynamics, gas dynamics, multiphase flow in porous elastic-plastic medium non-classical models of hydrodynamics, and solid mechanics, classical mechanics. If classification of conservation laws by various criteria, revealed the physical meaning of conservation laws and clarified the nature of the group to extend the set of conservation laws. Geometric analysis models based on the study will be carried out level lines corresponding to the equations of hydrodynamic type, especially in problems of gas dynamics and hydrodynamics. When the analysis is an appropriate choice of the level lines (the so-called level lines method) allows you to set basic properties of solutions, in particular with respect to subsonic gas, and the total degree of zeros of derivatives that will be the new result and the theory of quasi-conformal mappings. In addition, it will be tested approach based on algebraic-geometric analysis in the study of overdetermined systems of equations.

Основное внимание будет уделено следующим направлениям. а. Поиск новых подходов в области создания эффективных математических моделей турбулентного движения на основе углубленного анализа результатов численного моделирования тензорных характеристик турбулентности и их инвариантов, сопоставления с экспериментальными и теоретическими данными, численного анализа автомодельности и привлечения максимально широкого класса современных моделей турбулентности. б. Построение и анализ точных решений, выявление локальных и общих свойств решений без построения самого решения (т.н. качественная теория уравнений гидродинамического типа). в. Групповой анализ инвариантных, частично инвариантных и дифференциально-инвариантных решений уравнений теории свободных турбулентных течений, подмоделей газовой динамики, моделей многофазной фильтрации в упруго-пластической среде с физической интерпретацией получаемых результатов. Реализация программы ПОДМОДЕЛИ для математических моделей механики сплошной среды - теории упругости, газовой динамики, гидродинамики, включающих в себя уравнения, которые допускают достаточно богатую группу преобразований, лежащую в основе их вывода. г. Геометрический анализ, основанный на исследовании линий уровня течений жидкости и газа, на исследовании различных геометрических объектов, описывающих гидродинамические процессы, на применении алгебро-геометрического подхода к исследованию переопределенных систем уравнений с частными производными и др. Изучение пространcтвенно-временной структуры турбулентных течений методами геометрического анализа. д. Построение законов сохранения для уравнений гидродинамики, в том числе новых моделей "неидеальной гидродинамики", газовой динамики, многофазной фильтрации упруго-пластических и многофазных сред, классической механики, турбулентности. е. Получение новых формул векторного анализа в виде дифференциальных тождеств, связывающих модуль и направление произвольного гладкого векторного поля, с целью обнаружения новых дифференциальных связей (соотношений) между решениями и параметрами изучаемых дифференциальных уравнений. В частности, речь идет о получении новых дифференциальных соотношений, в том числе дивергентного вида, между скоростью, давлением, плотностью и внешней массовой силой в случае гидродинамических уравнений Эйлера и между полем времен распространения волн и показателем преломления среды в случае уравнения эйконала. Результаты, которые могут быть получены в ходе выполнения проекта, представляют интерес и с прикладных точек зрения, и с точки зрения общей теории уравнений гидродинамического типа. Сотрудничество в этой области теоретиков и специалистов в области численного моделирования позволят существенно повысить уровень математической строгости при конструировании новых математических моделей.

По вопросам численного анализа, разработки и апробации новых полуэмпирических моделей свободных турбулентных течений имеется цикл работ О.Ф. Воропаевой [1-10], в которых численно исследована работоспособность ряда современных полуэмпирических моделей второго и третьего порядка замыкания на основе детального сопоставления с экспериментальными данными, а также выполнен численный анализ основных характеристик турбулентности с режиме автомодельности и предложены новые упрощенные модификации этих моделей. Разработан комплекс программ для расчета свободных турбулентных течений, включающий практически весь спектр известных моделей турбулентности. По математическим вопросам турбулентных течений имеется цикл работ Гребенева [11-20], в котором существенную роль играют групповые и геометрические свойства рассматриваемых моделей. Для обратимых гамильтоновых систем, в случае n=3 доказана гипотеза о том, что, если имеется интеграл степени n, независимый от интеграла энергии, тогда обязательно найдется дополнительный интеграл степени 1 или 2. Для n=4,5,6 это утверждение доказано при дополнительных предположениях [21]. Создана теория инвариантов характеристик нелинейных систем уравнений с частными производными [22]. Развит алгебраический подход к инвариантным тензорам [23]. Разработан новый метод определяющих уравнений для построения частных решений уравнений с частными производными [24].

В квазистационарном приближении предложен способ определения векторного потенциала в виде аналитического ряда в однородном проводнике, помещённом в непроводящей среде в магнитное поле, гармонически изменяющееся по времени. Особенность задачи состоит в том, что на поверхности проводника, окружённого непроводящей средой, возникает электрический заряд, что вызывает необходимость рассматривать математическую постановку задачи определения четырёхмерного потенциала электромагнитного поля. Эта задача сводится к решению уравнения Гельмгольца в области, занимаемой проводящим телом, при условии, что правая часть уравнения тангенциальная на поверхности тела, а решением задачи с нулевой проводимостью тела является векторный потенциал внешнего магнитного поля. Решение этого уравнения находится в виде ряда, каждый член которого определяется из решения уравнения Пуассона при условии, что правые части этих уравнений тангенциальные на поверхности тела. Распределение поверхностного заряда, который обеспечивает выполнение этого условия при заданном значении векторного потенциала, находится итерационной процедурой перед вычислением каждого последующего члена ряда. В данной постановке задачи поле внутри проводника однозначно определяется векторным потенциалом внешнего поля в области, занимаемой его объёмом. Метод иллюстрируется численными экспериментами. Подмодель плоских движений идеального газа с нулевой дивергенцией в лагранжевых координатах сводится к переопределенной системе из двух линейных уравнений и одного нелинейного уравнения для двух искомых функций. Дифференцирование по одной лагранжевой координате в силу системы дает цепочку интегрируемых соотношений по времени. Это позволяет найти 5 представлений решения по времени: полиномиальное, гармоническое, бигармоническое, представления с линейно и экспоненциально растущими гармониками. При дальнейшем изучении совместности каждое из представлений дает семейства точных решений, зависящих от двух произвольных функций и постоянных. Эти решения существенно обобщают решения с линейным полем скоростей, полученные Л.В. Овсянниковым. На подалгебрах большой размерности, допускаемых уравнениями гидродинамического типа, возможно построить только дифференциально инвариантные решения, что приводит к изучению совместности переопределенных дифференциальных уравнений. На семимерной подалгебре всех переносов, включая галилеевы переносы, рассмотрено дифференциально инвариантное решение ранга один (простая волна). Задача сводится к пространственной модели гидродинамического типа с нулевой дивергенцией для однопараметрической термодинамической среды. У такой модели найдены все решения. Неизэнтропическая простая волна зависит от двух произвольных функций и постоянных, связанных совместными алгебраическими соотношениями. Изэнтропическая простая волна зависит только от постоянных. Поверхность уровня инвариантных функций есть плоскость, двигающаяся с постоянным ускорением. Для уравнений газовой динамики выявлена функциональная зависимость между законами сохранения. Найдены новые спиральные и слоистые течения, как примеры сопряженных течений несжимаемой жидкости.