ИСТИНА

Основной целью проекта является развитие методов исследования функционально-дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений, возникающих в многочисленных приложениях.

1) Проведение спектрального анализа генераторов полугрупп, порождаемых вольтерровыми интегро-дифференциальными уравнениями, содержащими несколько некоммутирующих операторов, и связанных с ними оператор-функций, получить результаты о полноте и базисности Рисса систем корневых векторов генераторов соответствующих полугрупп операторов, получить представления решений вольтерровых интегро-дифференциальных уравнений, содержащих несколько некоммутирующих операторов, на основе результатов о полноте и базисности Рисса систем корневых векторов генераторов соответствующих полугрупп операторов. 2) Применение теории полугрупп операторов для исследования различных классов вольтерровых интегро-дифференциальных уравнений, описывающих системы с памятью, возникающие в теории вязкоупругости, теплопроводности и других областях физики и естествознания. Описание качественных свойств сильно непрерывных полугрупп операторов, порождаемых интегро-дифференциальными уравнениями с сингулярными ядрами (ядрами Работнова). Планируется продолжить исследования задач для абстрактных интегро-дифференциальных уравнений, содержащих несколько некоммутирующих операторов с ядрами интегральных операторов, представимыми интегралами Стилтьеса, а также ядрами общего вида из пространства функций, интегрируемых на положительной полуоси. 3) Получение результатов о корректной разрешимости интегро-дифференциальных уравнений в пространствах вектор-функций, голоморфных в угловой области, на основе оценок оператор-функций, являющихся символами интегро-дифференциальных уравнений. 4) Методами спектральной теории и теории полугрупп операторов, а также методов комплексного анализа планируется провести полное исследование интегро-дифференциального уравнения типа Гуртина-Пипкина с дополнительным слагаемым трения Кельвина-Фойгхта: установить корректную разрешимость этого уравнения, установить экспоненциальную устойчивость этого решения, получить его представление и асимптотическое поведение. 5) Развитие новых методов решения задач управления и идентификации для систем, описываемых дифференциальными уравнениями на метрических графах. Сетевые структуры, описываемые такими уравнениями, находят применение во многих областях науки техники от водо- и газопроводов до нанотехнологий и нейробиологии. Теория управления и теория решения обратных задач для таких систем чрезвычайно важны для практики, но разработаны недостаточно полно, поскольку многие актуальные проблемы этих теорий математически очень сложны. Проблема о точной управляемости волнового уравнения была решена только для деревьев, то есть графов без циклов. Наши ожидаемые результаты об управляемости этих уравнений на общих графах внесут решающий вклад в решение проблемы, которая была открыта в течение 50-ти лет. Мы будем развивать численные методы решения задач управления и обратных задач для дифференциальных уравнений на метрических графах. Недавно В. Кравченко разработал метод, использующий ряды Неймана из функций Бесселя и превосходно работающий для решения спектральных обратных задач на отрезке и полуоси. Мы планируем применить этот метод для решения обратных задач на метрических графах соединив его с leaf peeling методом, разработанным в наших предыдущих работах. Мы ожидаем, что наш новый подход будет эффективен для решения целого ряда классических и новых спектральных обратных задач на метрических графах.