ИСТИНА

Динамические свойства систем классической механики по-прежнему привлекают внимание как теоретиков, так и специалистов по приложениям. Эти свойства существенно зависят от того, в каком классе лежит рассматриваемая система. В гамильтоновой динамике исследован ряд задач, связанных с описанием хаоса в неинтегрируемых системах, не являющихся при этом гиперболическими. Понимание структуры хаоса требует создания новых методов построения инвариантных множеств, несущих хаотическую динамику. В этой области, в частности, лежит проблема диффузии Арнольда, которой в проекте уделено особое внимание. В неголономных системах чрезвычайно интересно понять, насколько конкретная система далека от гамильтоновой или от интегрируемой. В частности, имеется ли инвариантная мера, дополнительные первые интегралы и поля симметрии. Наряду с этими задачами рассмотрены проблемы управления такими системами. В диссипативных системах предложены новые модели, позволяющие понять такие явления как качение и скольжение в присутствии сухого трения.

- Гипотеза о степени неприводимых полиномиальных интегралов обратимой гамильтоновой системы с двумя степенями свободы и торическим пространством положений полностью доказана для систем с полиномиальным по импульсам первым интегралом четвертой степени. Указаны новые интегрируемые случаи с потенциалами, имеющими сингулярности. - Доказано существование диффузии Арнольда в типичной априори неустойчивой гамильтоновой системе вне малой окрестности сильных резонансов. - Доказана теорема о сохранении гиперболических торов в системах Гамильтона с медленно меняющимся параметром. - Доказана теорема о существовании торов полной размерности в окрестности резонанса гамильтоновой системы, близкой к интегрируемой, и об оценке их меры. - Изучены симметричные бильярды, для которых бильярдное отображение локально сопряжено жесткому повороту. Доказано, что если угол поворота рационально несоизмерим с $\pi$, то уравнение сопряжения для бильярдных областей имеет решение в категории формальных рядов. - Доказана теорема об эргодичности трехпараметрического семейства полиморфизмов, включающего пример Трещева и Нейштадта. Изучены типичные особенности отображения при редукции задачи о разрушении адиабатического инварианта к задаче о динамике полиморфизма. - Получено обобщение классической теоремы Титчмарша о свертке на случай относительных гармонических носителей непрерывных функций на прямой. - Доказано существование обобщенно-обратимых периодических решений второго рода по Пуанкаре в задаче трех тел. Описан класс таких решений. - Получены хаотические решения нелинейного эллиптического уравнения на торе. - Рассмотрены уравнения движения точки по поверхности в форме уравнений Гамильтона в избыточных координатах. Приведены явные формулы вычисления скобки Пуассона. - Рассмотрена задача о скольжении по горизонтальной плоскости однородного прямого цилиндра (шайбы) под действием сил сухого трения. Сформулированы и доказаны качественные свойства динамики произвольных шайб. - Получены явные формулы для плотности распределения опорных точек для плоского твердого тела произвольной формы на плоскости со случайными неровностями. Показано существенное отличие рассмотренной модели сухого трения от стандартного закона Амонтона-Кулона. - Рассмотрена задача о движении однородного кругового цилиндра (шайбы) по горизонтальной плоскости с вязким трением. Коэффициент вязкого трения линейно зависит от нормального давления в точке контакта. Получены уравнения движения и исследованы свойства движения. - В задаче о качении без проскальзывания по горизонтальной плоскости шара, содержащего внутри управляемую систему, показано, что при сферической симметрии уравнения движения имеют лагранжеву структуру. Рассмотрена задача оптимального управления таким шаром с тремя роторами. - Рассмотрены задачи динамики, возникающие при взаимодействии абсолютно твердого шара с деформируемым плоским основанием. Основание представляет собой достаточно жесткую вязкоупругую среду Кельвина–Фойгта. Произведен подробный анализ различных стадий движения. Дано сравнение с традиционными моделями взаимодействия твердых тел. - Исследованы различные кинематические свойства качения одного твердого тела по другому как для классической модели качения без проскальзывания, так и для модели rubber-качения. Найдены случаи, когда уравнения движения подвижного шара представлены в форме системы Чаплыгина, в конформно-гамильтоновой и гамильтоновой форме. - Введено понятие слабого решения системы Даламбера-Лагранжа в неголономном случае. Построена теория абсолютно упругого удара в неголономных системах. Полученные результаты применены к задаче об ударе шара о шероховатую поверхность. - Рассмотрены задачи о движении твердых тел, соударяющихся с шероховатыми поверхностями, в рамках модели ударного взаимодействия, учитывающей трение. Найдены периодические режимы движения и условия выхода системы на эти режимы. - Предложен новый метод получения предельных уравнений для механических систем, подвергающихся быстрой вибрации, при частоте, стремящейся к бесконечности. Рассмотрен ряд примеров применения этих уравнений для конкретных систем. - Изучена двумерная задача о движении твердого тела в безграничном объеме идеальной жидкости, совершающей безвихревое движение и покоящейся на бесконечности. Тело снабжено гиростатом, а также ротором Флеттнера. Численно, с использованием генетических алгоритмов, решена задача оптимального управления телом для различных типов управляющих воздействий. - Доказано существование бесконечного числа негиперболических периодических траекторий в задаче Кирхгофа о движении твердого тела в идеальной жидкости, а также в двойственной ей задаче о движении твердого тела с неподвижной точкой в силовом поле с квадратичным потенциалом. - Исследованы свойства специальных периодических траекторий гамильтоновых систем (либраций). Получена новая формула для энергетического расщепления нижнего уровня многомерного оператора Шредингера с потенциалом с двумя симметричными ямами. - Изучен спектр двумерного оператора Шредингера с периодическим по одной переменной и возрастающим к бесконечности по другой потенциалом. Получены асимптотические формулы для ширины зон, выраженные в терминах действия на траекториях системы с перевернутым потенциалом. - В начальной задаче для системы ОДУ в условиях теоремы Пеано получено семейство решений, которое зависит от начальных данных как измеримая функция. - Получена теорема существования для эволюционной задачи с квазилинейной правой частью и нелипшицевой зависимостью от искомой функции в локально выпуклом пространстве.