ИСТИНА

В процессе выполнения НИР даются постановки обратных задач для уравнений математической физики; исследуются обратные задачи, возникающие в геофизике; изучаются обратные задачи, связанные с анализом электрофизиологических процессов, происходящих в человеческом организме; создаются устойчивые методы решения некорректно поставленных задач, возникающих в геофизике, медицинской диагностике, электродинамике и обработке изображений.

Разработаны методы определения внутренней границы неоднородности кусочно-однородной среды по измерениям потенциала и его нормальной производной на внешней границе двумерной области. Исследована обратная задача для уравнения диффузии с переопределением в виде внешнего объемного потенциала. Доказана единственность её решения для ряда случаев геометрии области. Исследована обратная задача восстановления точечных и дипольных источников в эллиптическом уравнении, моделирующая возбуждения головного мозга в рамках ЭЭГ исследования. Разработан алгоритм численного решения обратной задачи в такой постановке. Разработан бимодальный квазиодномерный метод решения двумерной обратной задачи морских электромагнитных зондирований. Разработаны методы выделения сингулярностей в трехмерных интегральных уравнениях электродинамики. Проведено сравнение информативности различных компонент электромагнитного поля при зондировании трехмерной неоднородности. Исследована и решена задача о поведении скалярной волны в окрестности каустики. Исследована и решена начальная задача Дирихле для волн в трещиноватой среде. В рамках модифицированной модели Фитц Хью – Нагумо, описывающей процессы, возникающие при инфаркте миокарда, была изучена обратная задача, состоящая в определении зависящего от пространственных переменных коэффициента в системе уравнений в частных производных по дополнительным измерениям решения на границе области. Предложен численный метод решения этой обратной задачи. Разработан метод определения поверхностного натяжения жидкости и вычисления динамического контактного угла по видеоданным. Разработан метод проекционной фазовой корреляции в задаче идентификации человека по радужной оболочке глаза. Изучена обратная задача для гиперболического уравнения с нелокальным краевым условием, содержащим запаздывающий аргумент. Доказана теорема существования ее решения. Проведено исследование обратных и нелокальных задач для эволюционных уравнений, выделен специальный случай, когда нетривиальные решения эволюционных уравнений состоят из линейно независимых элементов. Предложен и реализован итерационный метод решения двумерной обратной задачи электромагнитного зондирования. Получено решение задач, связанных с распространением волн в трещиноватых средах. В борновском приближении поставлена и решена обратная задача зондирования неоднородной трещиноватой среды плоской волной. Разработан численный метод решения обратной задачи электрокардиографии в кусочно-однородной трехмерной среде, соответствующей грудной клетке человека. Предложен и реализован метод определения проекции точечного очага аритмии на поверхность сердца на основе решения обратной задачи электрокардиографии. Для математических моделей возбуждения сердца изучены обратные задачи определения локализованного начального возбуждения и области, утратившей способность к возбуждению. Предложены численные методы решения этих обратных задач. Предложен и реализован итерационный метод решения трехмерной задачи электроимпедансной томографии в случае кусочно-постоянной проводимости и одного измерения на границе. Исследована задача определения линии разрыва кусочно-постоянного коэффициента теплопроводности по дополнительной информации о решении начально-краевой задачи, заданной на границе области. Разработан регуляризирующий метод восстановления фазы при ультразвуковом медицинском цветовом доплеровском картировании. Предложен и исследован метод поиска изображений магнитно-резонансной томографии для диагностики болезни Альцгеймера. Разработаны проекционный метод построения дискрипторов изображений с использованием функций Гаусса-Лагерра и метод сопоставления ключевых точек радужной оболочки глаза с использованием функций Эрмита. Исследованы обратные задачи для уравнения гиперболического типа с малым параметром при старшей производной. Доказана сходимость решений обратных задач при малом параметре, стремящемся к нулю, к решениям обратных задач для параболического уравнения. Поставлены и изучены прямые и обратные задачи для линейного и квазилинейного гиперболического уравнения с нелокальным краевым условием, содержащим запаздывающий аргумент. Доказаны теоремы существования и единственности решения этих задач. Исследована обратная задача для уравнения диффузии в случае сферической симметрии с неизвестным начальным условием. Дополнительной информацией, используемой для определения неизвестного начального условия, является внешний объемный потенциал, плотность которого представляет собой оператор Лапласа, вычисленный на решении начально-краевой задачи. Доказана теорема единственности обратной задачи зондирования слоистой среды, содержащей тонкий неоднородный слой. Исследован итерационный метод решения обратной задачи зондирования слоистой среды на основе интегральных уравнений. Исследовано поведение волнового поля в окрестности каустики. Построена математическая модель рефракции, сводящаяся к гиперболической системе уравнений с неограниченным коэффициентом. Получена система волновых уравнений для волн сжатия и сдвига, эквивалентная уравнению Ламэ для неоднородной упругой среды. Установлено влияние параметров среды на рассеяние. Предложен метод решения обратной динамической задачи сейсмики с учетом обменных волн. Разработан и программно реализован итерационный метод решения трехмерной задачи электроимпедансной томографии в случае кусочно-постоянной проводимости и нескольких измерений на границе. Проведено исследование обратных и нелокальных задач для эволюционных уравнений. Получены разрешающие формулы, применимые в случае гильбертова и банахова пространства. Установлена связь разрешающих формул с классическими полиномами Бернулли и обобщенными полиномами Бернулли-Аппеля. Для модифицированной математической модели Алиева-Панфилова, описывающей процесс возбуждения в сердце, поставлена обратная задача, состоящая в определении коэффициента по дополнительным измерениям решения на границе области. Разработан и программно реализован численный метод решения этой обратной задачи. Исследованы обратные задачи для математических моделей популяционной динамики. Получены условия единственности решения обратных задач, предложены итерационные алгоритмы их решения. Создан итерационный регуляризирующий метод восстановления фазы при ультразвуковом медицинском цветовом допплеровском картировании сердца. Разработано алгоритмическое обеспечение автоматизированного дистанционного скрининга заболеваний глазного дна. Доказана теорема единственности восстановления функции по фазе аппроксимации преобразования Фурье с использованием функций Эрмита. Показано, что фаза аппроксимации преобразования Фурье изображений с использованием функций Эрмита содержит больше информации, чем фаза дискретного преобразования Фурье. Разработан численный метод решения двумерной задачи электроимпедансной томографии в случае измерений на части внешней границы. Для модифицированной математической модели Фитц-Хью-Нагумо поставлена обратная задача определения зависящего от пространственных переменных коэффициента системы уравнений в частных производных с локализованной правой частью по дополнительным измерениям решения на границе. Обратная задача может быть интерпретирована как задача определения формы и местоположения области сердца, пораженной инфарктом миокарда. Предложен численный метод решения задачи. Рассмотрена обратная задача определения начального условия в начально-краевой задаче для уравнения диффузии в случае сферической симметрии. Дополнительной информацией является внешний объемный потенциал. Предложен и программно реализован численный метод решения данной задачи. Исследованы обратные задачи для математических моделей популяционной динамики с нелинейностями во взаимосвязях. Разработаны алгоритмы численного решения ряда обратных задач. Разработан алгоритм решения обратной задачи гравиметрии неоднородного тонкого слоя. Разработан метод быстрого вычисления градиента импеданса в обратной задаче магнитно-теллурического зондирования. Установлены необходимые и достаточные условия локальной по времени разрешимости обратных задач рассеяния для уравнения Клейна-Гордона и системы Дирака в одномерном и двумерном случаях. Предложена линейная схема решения этих задач. Исследованы вопросы корректности задач для волнового уравнения с комплексной скоростью в одномерном и пространственном случаях. Получены формулы решения этих задач — аналоги классических формул Даламбера и Кирхгофа. Исследованы обратные и нелокальные задачи для эволюционных и операторных уравнений со специальными весовыми функциями в переопределениях. Разработана компьютерная модель, позволяющая проводить исследование прямых и обратных задач для уравнений дорожного движения. Разработаны новые метрики оценки качества изображений, основанные на использовании вейвлетных банков фильтров и фильтров Габора. Разработан и программно реализован алгоритм восстановления сигналов по фазе аппроксимации преобразования Фурье с использованием функций Эрмита. Исследована обратная задача для квазилинейной системы уравнений в частных производных с нелокальным краевым условием, содержащим запаздывающий аргумент. Доказана единственность ее решения. Изучены задачи восстановления источника в параболическом и гиперболическом уравнении с малым параметром при старшей производной. Доказано, что решение задачи определения источника в параболическом уравнении неединственно, а решение задачи определения источника в гиперболическом уравнении единственно. Разработан численный метод решения трехмерной задачи электроимпедансной томографии для кусочно однородной среды в случае измерений на части внешней границы. Исследованы вопросы корректности задач для волнового уравнения с комплексной скоростью в одномерном и пространственном случаях. Получены формулы решения этих задач — аналоги классических формул Даламбера и Кирхгофа. Исследованы двумерные обратные задачи рассеяния для уравнения акустики, состоящие в определении плотности и акустического импеданса среды. Получено необходимое и достаточное условие однозначной разрешимости этих задач в форме закона сохранения энергии. Доказана возможность однозначного восстановления скоростных и глубинных разрезов по данным рассеяния в обратных многомерных задачах наземной сейсмики в акустическом приближении. Получены интегральные соотношения, позволяющие уменьшать область сеточных уравнений при моделировании разностными методами низкочастотных электромагнитных полей в неоднородных средах. Исследован итерационный метод решения интегральных уравнений первого рода для дельта-образных ядер. Изучена задача определения местоположения области сердца, пораженной инфарктом миокарда, в рамках двумерной модифицированной модели Фитц-Хью-Нагумо, разработан и программно реализован численный метод ее решения. Изучены обратные и нелокальные задачи для эволюционных уравнений в банаховом пространстве. Проведено исследование линейной обратной задачи восстановления источника. Установлен критерий единственности решения, найдены достаточные условия разрешимости. Проведено исследование прямых и обратных задач для дифференциальных уравнений транспортных потоков. Разработаны двухмерный метод эмпирических мод и быстрый метод сопоставления изображений, основанный на максимизации их совместной энтропии. Создан программный комплекс на базе проекционных методов, использующих функции Эрмита, для решения задачи параметризации данных радужной оболочки глаза и идентификации человека по радужной оболочке глаза.