Стабилизаторы и наблюдатели для систем, описываемых дифференциально-разностными уравнениями в условиях неопределенностиНИР

Соисполнители НИР

МГУ имени М.В.Ломоносова Координатор

Источник финансирования НИР

грант РФФИ

Этапы НИР

# Сроки Название
1 1 января 2012 г.-31 декабря 2012 г. Стабилизаторы и наблюдатели для систем, описываемых дифференциально-разностными уравнениями в условиях неопределенности
Результаты этапа: Исследована задача стабилизации нулевого положения равновесия билинейных и аффинных систем канонического вида. Для систем второго порядка получены получено необходимые и достаточные условия стабилизации системы. Доказательство полученной теоремы конструктивно, при определенных условиях на коэффициенты системы задача решается в классе постоянных управлений. Разработанный подход использован для исследования задачи одновременной стабилизации (робастной стабилизации) планарных билинейных систем канонического вида. Для векторных систем рассмотрена задача синтеза стабилизатора минимальной размерности с назначаемым спектром замкнутой системы. Показано, что для этих классов минимальный стабилизатора с назначаемым спектром имеет размерность $k_{min}=\min\{\nu-1,\mu-1\}$, где $\nu$ и $\mu$ --- индекс управляемости и наблюдаемости исходной динамической системы (SIMO или MISO). Рассмотрена задача о существовании единого стабилизатора для конечного семейства непрерывных линейных скалярных нестационарных объектов. При выполнении условий равномерной наблюдаемости и управляемости (ранг соответствующих матриц максимален и не зависит от времени), посредством ляпуновского преобразования координат система приводится к каноническому виду, на основе которого и был производен синтез нестационарного наблюдателя и нестационарной обратной связи по состоянию. Рассмотрена задача о построении единого регулятора, стабилизирующего по состоянию семейство линейных динамических объектов одинакового порядка. Построение регулятора опирается на создание специального скользящего режима. Полученный результат был обобщен на случай объектов с различными порядками. Для полученных результатов было проведено компьютерное моделирование, для этой цели использовалась система MATLAB.
2 1 января 2013 г.-31 декабря 2013 г. Стабилизаторы и наблюдатели для систем, описываемых дифференциально-разностными уравнениями в условиях неопределенности
Результаты этапа: За время выполнения второго этапа проекта были получены следующие основные результаты: 1. Предложен подход к задаче обращения векторных систем с соизмеримыми запаздываниями. Подход обобщает более ранние результаты коллектива, относительно обращения скалярных систем с запаздыванием. В основе лежит та же идея, что и в случае непрерывных систем: приведение исходной системы к специальной форме. Специальная форма состоит из двух подсистем, вектор состояния первой подсистемы совпадает с выходом и известен, а вторая подсистема не включает в явном виде неизвестный вход. Аналогом невырожденных преобразований вектора состояния в случае систем с запаздыванием выступает операция умножения на унимодулярную (от оператора запаздывания) матрицу. Получено достаточное условие приводимости исходной системы к специальному виду, сводящиеся к вычислению наибольшего общего делителя для группы миноров полиномиальной матрицы. Для приведенной к специальной форме системы методами, аналогичными применяемым в случае непрерывных систем без запаздывания, строится оценка неизвестного входа. Необходимым условием применимости алгоритма является устойчивость инвариантных нулей системы, что выступает в качестве аналога требования устойчивости нулевой динамики в непрерывном случае. 2. Разработан алгоритм синтеза наблюдателя для систем с запаздываниями. Прямое обобщение понятия наблюдаемости (восстанавливаемости) и алгоритмов синтеза наблюдателей с линейных непрерывных систем на системы с запаздыванием предполагает требование унимодулярности матрицы наблюдаемости, что является достаточно сильным ограничением. Посредством введения понятия "асимптотическая наблюдаемость" удалось ослабить это требования до условия расположения корней определителя матрицы наблюдаемости (матрица наблюдаемости представляет собой полиномиальную матрица от оператора запаздывания) вне единичного круга. Наблюдатель строится в два этапа. Сначала необратимым преобразованием вектора состояния система приводится к канонической форме. Преобразованное состояние оценивается стандартным дифференциально-разностным наблюдателем, а уже по его выходу строится асимптотическая оценка исходного вектора состояния с использованием разностного уравнения. Устойчивость этого уравнения обеспечивается требованием наложенным выше на определитель матрицы наблюдаемости. 3. Топологический подход к синтезу одновременного стабилизатора для конечного семейства непрерывных объектов обобщен на случай систем с соизмеримыми запаздываниями. На объекты семейства накладывается требование унимодулярности матриц управляемости и наблюдаемости, что позволяет, используя стандартные методы, синтезировать стабилизующий регулятор для каждого из объектов семейства. В рамках топологического подхода общий регулятор ищется в виде линейной комбинации этих регуляторов. Получено достаточное условие существования этого регулятора, сводящее к проверке того, что в ряде семейств регуляторов найдется стабилизующий ходя бы для одного объекта семейства. Данный результат является прямым обобщением аналогичного утверждения для непрерывных систем.
3 1 января 2014 г.-31 декабря 2014 г. Стабилизаторы и наблюдатели для систем, описываемых дифференциально-разностными уравнениями в условиях неопределенности
Результаты этапа: За время выполнения третьего и последнего этапа проекта были получены следующие результаты. Во-первых, для скалярных стационарных систем с операторными возмущениями был разработан метод синтеза регулятора, для которого замкнутая система является сверхустойчивой. Не так давно предложенная идея расширения динамического порядка дала возможность свести задачу со структурными возмущения в модели объекта к задаче схожей с уже более исследованной задаче одновременной стабилизации объектов с одинаковым порядком. Кроме того, требуемое условие сверхустйочивости достаточно сильное, поэтому для него было введено понятие обобщенной сверхустойчивости, расширяющее возможности полученного одновременно сверхстабилизирующего регулятора. Были указаны критерий, пир котором рассматриваемое семейство систем является обощенно сверхстабилизируемы. Во-вторых, для систем с соизмеримыми запаздываниями при наличии помехи, входящей в уравнение объекта с запаздываниями, были показано, что при определенных условиях на объект возможно построения наблюдателя, описываемого дифференциально-разностными уравнениями. В данном случае разностные уравнения использованы для наблюдения выхода системы, когда невырожденного операторного унимодулярного преобразования системы, используемого для синтеза наблюдателя не существует. В-третьих, косвенными для задачи стабилизации результатом является расширение и полное изучение относительного порядка по Исидори для линейных стационарных систем. Было показано, когда это понятие возможно расширить, и дано обобщение этого понятия. В дальнейшем планируется использование канонических форм Исидори в задачах стабилизации и наблюдения.

Прикрепленные к НИР результаты

Для прикрепления результата сначала выберете тип результата (статьи, книги, ...). После чего введите несколько символов в поле поиска прикрепляемого результата, затем выберете один из предложенных и нажмите кнопку "Добавить".