ИСТИНА

Проект является развитием предыдущих проектов коллектива по численному решению уравнений типа Навье-Стокса и включает в себя новые задачи, такие, как: - Учет сжимаемости. В частности, такого рода задачи возникают в крупномасштабной динамике океана (уравнения мелкой воды). Здесь уравнение для уровня океана выглядит как уравнение неразрывности в системе уравнений газовой динамики. - При аппроксимации уравнений типа Навье-Стокса необходимо не только выполнение закона сохранения массы в разностном случае и монотонности разностной схемы, но и обеспечение неотрицательности плотности. Проект будет посвящен, в частности, решению этой проблемы.

Для аппроксимации уравнения неразрывности предполагается рассмотреть консервативную разностную схему с неотрицательным решением. Будет получен сеточный аналог энергетического неравенства для нелинейной разностной схемы для баротропного газа. Схема будет применена для моделирования крупномасштабных течений в Каспийском и Черном морях на основе уравнений мелкой воды.

Настоящий научный коллектив давно и плодотворно работает над математическими проблемами, возникающими в механике сплошной среды и соответствующими проблемами численного анализа. За последние годы участниками проекта были получены существенные результаты по численному решению и исследованию проблем динамики жидкости, в частности, задач динамики океана. Для исследования различных аспектов динамики океана предложен ряд математических моделей, большинство из которых базируется на уравнениях Навье-Стокса динамики вязкой несжимаемой жидкости. Некоторые из этих моделей предполагается исследовать в проекте. Для уравнений крупномасштабной динамики океана участниками проекта (Г.М. Кобельков) была доказана теорема существования «в целом». При этом норма градиента вектора скоростей непрерывна по времени, а рассматриваемая область является цилиндром трехмерного пространства (система уравнений выводилась именно для такого класса областей). Разработанная методика дает толчок к построению новых численных методов решения задачи динамики океана и предоставляет возможность математического обоснования уже существующих методов, а также дает пути к исследованию качественных свойств решения.

Предложена консервативная разностная схема для уравнений газовой динамики с линейной зависимостью давления от плотности. Данная схема позволяет моделировать одномерные течения газа в цилиндрической области с переменным во времени сечением. Для системы уравнений, описывающей течение идеального (вязкого) баротропного газа, предложена разностная схема, обеспечивающая положительность плотности. Доказано существование решения получающейся системы нелинейных уравнений при любых шагах сетки по времени и пространству. Предложен итерационный процесс для решения полученной системы на временном шаге.